Прием, упрощающий решение задачи устойчивости параметрически стабилизируемых статически неустойчивых маятниковых систем

Предложен прием, упрощающий решение линейной задачи устойчивости параметрически стабилизируемых гармоническими колебаниями оси подвеса статически неустойчивых N-звенных обращенных маятников. Отличием приема от известных подходов (С. Оттербейн, Д. Ачесон, С.В. Челомей) является более широкая область применения, простота, оперативность решения задачи устойчивости и более высокая точность определения граничных линий области устойчивости маятниковых систем. Прием основан на использовании хорошо известного, всесторонне изученного уравнения Матьё, описывающего динамику и устойчивость одинарных математических маятников в нижнем и верхнем положениях относительного вертикального равновесия. Решение задачи устойчивости для уравнения Матьё в канонической (по Н.В МакЛахлану) форме проще всего свести к анализу диаграммы Айнса — Стретта. В данной работе область использования диаграммы Айнса — Стретта распространена (путем модификации диаграммы) на обращенные маятниковые системы с произвольным числом степеней свободы.

Литература

[1] Otterbein S. Stabilisierung des n-Pendels und der Indische Seiltrick. Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1982, vol. 78, pp. 381–393.

[2] Acheson D.J. A pendulum theorem. Proceedings of the Royal Society A, 1993, vol. 443, pp. 239–245.

[3] Челомей С.В. О двух задачах динамической устойчивости колебательных систем, поставленных академиками П.Л. Капицей и В.Н. Челомеем. Изв. АН СССР. МТТ, 1999, № 6, с. 159–166.

[4] Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. Санкт-Петербург, Лань, 2008. 480 с.

[5] Мак-Лахлан Н.В. Теория и приложения функций Матьё. Москва, Изд-во иностранной лит-ры, 1953. 475 с.

[6] Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. Мoсква, Едиториал УРСС, 2015. 864 c.

[7] Абрамовиц М., Стиган И., ред. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Москва, Наука, 1979. 832 с.

[8] Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 3. Москва, Наука, 1967. 300 с.

[9] Абрамов А.А., Курочкин С.В. Вычисление решений уравнения Матьё и связанных с ними величин. Журнал вычислительной математики и математической физики, 2007, т. 47, № 3, с. 414–423.

[10] Кашеваров А.В. Функции Матьё и кулоновские сфероидальные функции в теории электрического зонда. Журнал вычислительной математики и математической физики, 2011, т. 51, № 12, с. 2269–2278.

[11] Arkhipova I.M., Luongo A., Seyranian A.P. Vibrational stabilization of the upright statically unstable position of a double pendulum. Journal of Sound and Vibration, 2012, vol. 331, iss. 2, pp. 457–469.

[12] Цимринг Ш.Е. Специальные функции и определенные интегралы. Москва, Радио и связь, 1988. 272 с.

[13] Таблицы для вычисления функций Матьё: собственные значения, коэффициенты и множители связи. Большие математические таблицы. Москва, ВЦ АН СССР, 1967. 279 с.