Определение вероятностных моментов фазовых координат нелинейной модели конструкции

Рассмотрена задача стохастической динамики нелинейной конечно-элементной модели с использованием разложения решения по усеченному ортогональному базису собственных векторов статистически линеаризованной системы. Принято допущение, что нелинейности, присутствующие в системе, не приводят к принципиальному изменению ее динамического поведения, а только вносят существенную количественную поправку в вероятностные характеристики по отношению к линейной модели. Для того чтобы последняя не потеряла физический смысл, все нелинейные характеристики представлены в виде суммы линейной и нелинейной составляющих. Аддитивное внешнее воздействие принято стационарным или квазистационарным. Система уравнений относительно главных координат, записанная в форме Коши, приведена к каноническому виду с применением формирующих фильтров. Использованы известные дифференциальные уравнения метода моментов, позволяющие решить задачу в рамках корреляционной теории, если известна зависимость собственных чисел и векторов от искомых вероятностных моментов, через которые выражаются коэффициенты статистической линеаризации. Для выявления этой зависимости использованы разложения собственных чисел и векторов в степенные ряды по коэффициентам статистической линеаризации, рассматриваемые как вариации элементов матрицы жесткости линейной модели. Учтено линейное или квадратическое приближение. Расчет вероятностных моментов, входящих в коэффициенты статистической линеаризации, проводится посредством итерационной процедуры, которая, как показала практика, сходится за два или три приближения. Результаты проиллюстрированы примером.

Литература

[1] Казаков И.Е. Статистическая теория систем управления в пространстве состояний. Москва, Наука, 1975. 432 с.

[2] Тушев О.Н., Березовский А.В. Определение спектральных плотностей динамических характеристик нелинейной модели конструкции. Проблемы машиностроения и надежности машин, 2013, № 1, с. 18–25.

[3] Пановко Я.Г. Основы прикладной теории колебаний и удара. Москва, Машиностроение, 1976. 320 с.

[4] Тушев О.Н., Донских А.М. Применение метода моментов для корреляционного анализа динамики конечноэлементных моделей конструкций. Известия высших учебных заведений. Машиностроение, 2014, № 12(657), с. 30–35.

[5] Светлицкий В.А. Стохастическая механика и теория надежности. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. 504 с.

[6] Тушев О.Н., Березовский А.В. Чувствительность собственных значений и векторов к вариациям параметров конечно-элементных моделей конструкций. Вестник МГТУ имени Н.Э. Баумана. Сер. Машиностроение, 2007, № 1, с. 35–44.

[7] Rozenwasser E., Yusupov R. Sensitivity of Automatic Control Systems. London, New York, Washington, D.C., CRC Press, Boca Raton, 2000. 436 p.

[8] Soldatenko S., Yusupov R. Sensitivity Analysis of Coupled Chaotic Dynamical Systems with the Pseudo-Orbit Tracing Property. Applied Mathematical Sciences, 2015, vol. 9, № 18, pp. 885–893.

[9] Гусев А.С. Вероятностные методы в механике машин и конструкций. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009. 224 с.

[10] Хог Э., Чой К., Комков В. Анализ чувствительности при проектировании конструкций. Москва, Мир, 1988. 428 с.

[11] Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. Москва, Добросвет МЦНМО, 1998. 320 с.