Конечный элемент в виде витка для расчета частот и форм собственных колебаний пружин c учетом сдвига и инерции вращения

Для расчета частот и форм собственных колебаний «длинных» винтовых цилиндрических пружин предложен конечный элемент в виде одного витка с узлами, расположенными на оси пружины. Матрица жесткости конечного элемента получена с помощью численного интегрирования системы дифференциальных уравнений пространственного стержня, поэтому ее можно рассматривать как численно точную. Побочным продуктом вычисления матрицы жесткости служат функции формы, соответствующие единичным узловым перемещениям конечного элемента. Они также являются численно точными, так как получены из системы дифференциальных уравнений. Функции формы были использованы стандартным для метода конечных элементов способом для построения матрицы масс конечного элемента. При составлении матрицы жесткости учтены поперечные сдвиги и растяжение оси винтового стержня, а при создании матрицы масс — инерция вращения. Главное преимущество разработанного конечного элемента заключается в том, что он «мягкий» по сравнению с обычным балочным конечным элементом, в котором жесткости на растяжение и изгиб различаются на порядки. Кроме того, отказ от разбиения витка на прямолинейные конечные элементы позволяет уменьшить размерность задачи в десятки раз. Сопоставление результатов расчета и эксперимента показало хорошую точность предложенного конечного элемента.

Литература

[1] Бадиков Р.Н. Расчетно-экспериментальное исследование напряженно-деформированного состояния и резонансных режимов вращения винтовых пружин в пружинных механизмах. Дис. … канд. техн. наук. Москва, 2009. 166 с.

[2] Сорокин Ф.Д., Су Чжоу. Разработка конечного элемента в виде витка цилиндрической пружины. Нелинейная динамика машин. III Междунар. школа-конференция молодых ученых (School–NDM 2016), Москва, 12–15 апреля 2016 г., Москва, ИМАШ РАН, 2016, c. 261–265.

[3] Yu A.M., Hао Y. Improved Riccati Transfer Matrix Method for Free Vibration of Non-Cylindrical Helical Springs Including Warping. Shock and Vibration, 2012, vol. 19, is. 6, pp. 1167–1180.

[4] Yu A.M., Hao Y. Effect of warping on natural frequencies of symmetrical cross-ply laminated composite non-cylindrical helical springs. International Journal of Mechanical Sciences, 2013, vol. 74, pp. 65–72.

[5] Kacar I., Yildirim V. Natural frequencies of composite cylindrical helical springs under compression. International Conference on Vibration Problems ICOVP 2011, pp. 119–124.

[6] Yildirim V. On the linearized disturbance dynamic equations for buckling and free vibration of cylindrical helical coil springs under combined compression and torsion. Meccanica, 2012, vol. 47, is. 4, pp. 1015–1033.

[7] Lee J. Free vibration analysis of cylindrical helical springs by the pseudospectral method. Journal of Sound and Vibration, 2007, vol. 302, is. 1–2, pp. 185–196.

[8] Becker L.E., Chassie G.G., Cleghorn W.L. On the natural frequencies of helical compression springs. International Journal of Mechanical Sciences, 2002, vol. 44, is. 4, pp. 825–841.

[9] Hughes T.J.R. The Finite Element Method: Linear statics and dynamic element analysis. Courier Corporation, 2012. 672 p.

[10] Елисеев В.В. Механика упругих тел. Санкт-Петербург, Изд-во Политехн. ун-та, 2003. 336 с.

[11] Елисеев В.В., Зиновьева Т.В. Механика тонкостенных конструкций. Теория стержней. Санкт-Петербург, Изд-во Политехн. ун-та, 2008. 95 с.

[12] Елисеев В.В., Авксентьев А.И. Модели упругих стержней в динамике гибких роторов. Современное машиностроение. Наука и образование, 2014, № 4, с. 335–343.

[13] Ветюков Ю.М., Елисеев В.В. Моделирование каркасов зданий как пространственных стержневых систем с геометрической физической нелинейностью. Вычислительная механика сплошных сред, 2010, т. 3, № 3, с. 32–45.

[14] Светлицкий В.А. Механика стержней. В 2 т. Т. 1. Статика. Москва, Физматлит, 2009. 408 с.

[15] Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. 592 с.

[16] Валишвили Н.В., Гаврюшин С.С. Сопротивление материалов и конструкций. Москва, Изд-во Юрайт, 2017. 429 с.

[17] Дьяконов В.П. Mathematica 5.1/5.2/6. Программирование и математические вычисления. Москва, ДМК-Пресс, 2008. 574 с.

[18] Попов В.В., Сорокин Ф.Д., Иванников В.В. Разработка конечного элемента гибкого стержня с раздельным хранением накопленных и дополнительных поворотов для моделирования больших перемещений элементов конструкций летательных аппаратов. Труды МАИ, 2017, № 92. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=76832 (дата обращения 14 декабря 2017).

[19] Walter W., Walter D.P. Mechanics of Structures. Variational and Computational. CRC Press, 2002. 912 p.

[20] Ильин М.М., Колесников К.С., Саратов Ю.С. Теория колебаний. Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. 272 с.