Об аналитическом подходе к выбору центроид в плоском зубчатом зацеплении

Теория зубчатых зацеплений, в частности кинематика, насчитывает большую историю, в которую вписаны имена таких великих математиков, как Л. Эйлер, Х. Гюйгенс и П.Л. Чебышев. Эта теория достаточно подробно изложена во многих работах. Однако в ней недостаточно внимания уделено просто формулируемому, но сложно решаемому вопросу выбора уравнений кривых, описывающих центроиды в плоском зубчатом зацеплении, при которых движение передается с постоянным отношением угловых скоростей. Методы анализа плоского зубчатого зацепления основаны на положении о существовании центра зацепления — точки, в которой скорости звеньев равны и через которую проходит общая нормаль к центроидам, т. е. на теореме Виллиса. В основу настоящей работы положено утверждение о том, что проекции скоростей общей точки на общую нормаль одинаковы. Представлен вывод уравнений, которым должны удовлетворять уравнения кривых, чтобы выполнялось условие постоянства угловых скоростей. В общем случае необходимо, чтобы три неизвестные функции отвечали четырем ограничениям: обе кривые имеют общую точку (два ограничения), в этой точке нормали к кривым параллельны, проекции скоростей общей точки на нормаль одинаковы и определяются угловыми скоростями звеньев. В качестве примера рассмотрены наиболее распространенные формы кривых: эвольвента, эпи- и гипоциклоиды. Показано, что для эвольвенты все ограничения выполняются, в то время как при использовании эпи- и гипоциклоид передача вращения с постоянным передаточным отношением невозможна. Описан вариант, когда задана форма лишь одной кривой, а форма другой вычисляется исходя из условия постоянства передаточного отношения. Для примера выведены уравнения, где в качестве первой кривой выбраны гипоциклоида и прямая.

Литература

[1] Litvin F.L., Fuentes A. Gear Geometry and Applied Theory. Cambridge, Cambridge University Press, 2004. 800 p.

[2] Stadtfeld H.J. Handbook of Bevel and Hypoid Gears. Calculation Manufacturing Optimization. NY, Rochester Institute of Technology, 1993. 251 p.

[3] Colbourne J.R. The Geometry of Involute Gears. Berlin, Springer-Verlag, 1987. 526 p.

[4] Panchuk K.L., Lyashkov A.A., Varepo L.G. Mathematical model of forming screw profiles of compressor machines and pumps. IOP Conference Series: Earth and Environmental Science, 2017, vol. 87, iss. 8, no. art. 082035, doi: 10.1088/1755-1315/87/8/082035

[5] Rattan S.S. Theory of Machines. Tata McGraw Hill Education Private Limited, 2009.

[6] Norton R.L. Design of Machinery. McGraw Hill Education, 2011. 879 p.

[7] Buckingham E. Analytical Mechanics of Gears. McGraw-Hill Book Co., 1949. 546 p.

[8] Coy J.J., Townsend D.P., Zaretsky E.V. Gearing. NASA Scientific and Technical Information Branch, NASA-RP-1152, 1985, AVSCOM Technical Report 84-C-15, 66 p.

[9] Sclater N. Gears: devices, drives and mechanisms. Mechanisms and Mechanical Devices Sourcebook. New York, McGraw Hill, 2011, pp. 131–178.

[10] Бабичев Д.Т., Волков А.Э. История развития теории зубчатых передач. Вестник научно-технического развития, 2015, № 5(93), с. 25–42.

[11] Radzevich S.P. Dudley’s Handbook of practical gear design and manufacture. CRC Press, 2016. 629 p.

[12] Чебышев П.Л. Избранные труды. Москва, Изд-во АН СССР, 1955. 926 с.

[13] Литвин Ф.Л. Теория зубчатых зацеплений. Москва, Наука, 1968. 584 с.

[14] Савелов А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения (справочное руководство). Москва, Физматгиз, 1960. 293 с.

[15] Кудрявцев В.Н. Зубчатые передачи. Москва, Ленинград, Машгиз, 1957. 263 с.