Распространение кинетической аналогии Кирхгофа на цилиндрические пружины, несущие распределенные нагрузки

Использование винтовых цилиндрических пружин в качестве гибких связей, шнеков и инструментов для измельчения и просеивания различных материалов приводит к сложным геометрически нелинейным краевым задачам механики гибких стержней. Решить такие задачи в общем случае можно только численными методами, которые вносят в получаемые результаты трудно контролируемые погрешности. В статье предложен способ оценки указанных погрешностей с помощью закона сохранения, основанного на модификации кинетической аналогии Кирхгофа. Тождественное соотношение, следующее из аналогии уравнений движения твердого тела с одной неподвижной точкой и уравнений больших перемещений гибких стержней, распространяется на случай винтовых цилиндрических пружин, несущих распределенные нагрузки. Учет распределенных нагрузок существенно расширяет область применения кинетической аналогии Кирхгофа. Показано, что разработанная модификация является следствием уравнений равновесия и соотношений упругости пружины. Целесообразность использования предложенного соотношения для контроля численного расчета больших перемещений пружин, несущих распределенные нагрузки, продемонстрирована на примере.

Литература

[1] Ляв А. Математическая теория упругости. Москва, ОНТИ, 1935. 674 с.

[2] Nizette M., Goriely A. Towards a classification of Euler–Kirchhoff filaments. Journal of Mathematical Physics, 1999, vol. 40, is. 6, pp. 2830–2866.

[3] Leung A.Y.T., Kuang J.L. Spatial chaos of buckled elastica by the Kirchhoff analogy of a gyrostat. Computers & Structures, 2005, vol. 83, is. 28–30, pp. 2395–2413.

[4] Shu L., Weber A. A symbolic-numeric method for solving boundary value problems of Kirchhoff Rods. Lecture Notes in Computer Science, 2005, vol. 3718, pp. 387–398.

[5] Da Fonseca A.F., De Aguiar M.A.M. Solving the boundary value problem for finite Kirchhoff rods. Physica D: Nonlinear Phenomena, 2003, vol. 181, is. 1–2, pp. 53–69.

[6] Shvartsman B.S. Analysis of large deflections of a curved cantilever subjected to a tip-concentrated follower force. International Journal of Non-Linear Mechanics, 2013, vol. 50, pp. 75–80.

[7] Van der Heijden G.H.M., Thompson J.M.T. Helical and localized buckling in twisted Rods: A unified analysis of the symmetric case. Nonlinear Dynamics, 2000, vol. 21, is. 1, pp. 71–99.

[8] Светлицкий В.А. Механика стержней. Ч. 1: Статика. Москва, Высшая школа, 1987. 320 с.

[9] Бадиков Р.Н. Расчетно-экспериментальное исследование напряженно-деформированного состояния и резонансных режимов вращения винтовых пружин в пружинных механизмах. Дис. … канд. техн. наук. Москва, 2009. 166 с.

[10] Жилин П.А. Векторы и тензоры второго ранга в трехмерном пространстве. Санкт-Петербург, Нестор, 2001. 276 с.

[11] Елисеев В.В., Зиновьева Т.В. Механика тонкостенных конструкций. Теория стержней. Санкт-Петербург, Изд-во Политехн. ун-та, 2008. 95 с.

[12] Елисеев В.В. Механика деформируемого твердого тела. Санкт-Петербург, Изд-во Политехн. ун-та, 2006. 231 с.

[13] Жилин П.А. Прикладная механика. Теория тонких упругих стержней. Санкт-Петербург, Изд-во Политехн. ун-та, 2007. 101 с.

[14] Zhilin P.A. Nonlinear theory of thin rods. Advanced Problems in Mechanics. Lecture at XXXIII Summer School-Conference, St. Petersburg, Russia, 2005, pp. 227–249.

[15] Сорокин Ф.Д. Прямое тензорное представление уравнений больших перемещений гибкого стержня с использованием вектора конечного поворота. Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, 1994, № 1, с. 164–168.

[16] Zubov L.M. The problem of the equilibrium of a helical spring in the non-linear three-dimensional theory of elasticity. Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 2007, no. 71, pp. 519–526.

[17] Дьяконов В.П. Mathematica 5.1/5.2/6. Программирование и математические вычисления. Москва, ДМК-Пресс, 2008, 574 с.

[18] Гаврюшин С.С., Бадиков Р.Н., Ганбат Д. Численное моделирование процессов нелинейного деформирования рабочих органов пружинных мельниц. Матер. 15-й Междунар. конф. по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС-2007), Москва, Вузовская книга, 2007, c. 139–140.

[19] Гаврюшин С.С., Барышникова О.О., Борискин О.Ф. Численные методы проектирования гибких упругих элементов. Калуга, Облиздат, 2001. 200 с.