Численное исследование динамики вращающейся изогнутой пружины с использованием конечного элемента в форме одного витка

Разработана методика численного расчета движения изогнутой в дугу винтовой пружины, возбуждаемой вращением одного из захватов. При численном моделировании пружина заменялась дискретным набором витков, каждый из которых рассматривался как конечный элемент. Для построения геометрически нелинейного конечного элемента — витка, учитывающего большие перемещения и повороты, малые относительные перемещения отсчитывались от промежуточного «теневого» положения, в котором элемент не деформирован. Для исключения особых точек полные повороты представлены комбинацией тензора и вектора. При этом тензор большого поворота на шаге интегрирования оставался неизменным, а варьируемая малая часть поворота описывалась вектором Эйлера. Представлена методика получения касательной матрицы жесткости, матрицы обобщенных масс и гироскопической матрицы конечного элемента — витка. Полученные нелинейные уравнения движения модели пружины, составленной из таких конечных элементов, численно проинтегрированы методом Ньюмарка. Результаты расчета подтверждены данными натурных экспериментов с вращающейся изогнутой пружиной.

Литература

[1] Бадиков Р.Н. Расчетно-экспериментальное исследование напряженно-деформиро¬ван¬ного состояния и резонансных режимов вращения винтовых пружин в пружинных механизмах. Дис. … канд. техн. наук. Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009. 166 с.

[2] Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики. Москва, Физматлит, 2001. 320 c.

[3] Попов В.В., Сорокин Ф.Д., Иванников В.В. Разработка конечного элемента гибкого стержня с раздельным хранением накопленных и дополнительных поворотов для моделирования больших перемещений элементов конструкций летательных аппаратов. Тр. МАИ, 2017, № 92. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=76832 (дата обращения 6 ноября 2017).

[4] Сорокин Ф.Д. Особенности рационального способа описания больших поворотов в задачах нелинейной динамики роторных машин. Нелинейная динамика машин. Матер. III Междунар. школы-конференции, Москва, 12–15 апреля 2016 г., Москва, ИМАШ РАН, 2016, с. 89–93.

[5] Жилин П.А. Векторы и тензоры второго ранга в трехмерном пространстве. Санкт-Петербург, Нестор, 2001. 276 с.

[6] Жилин П.А. Рациональная механика сплошных сред. Санкт-Петербург, Изд-во Политехнического ун-та, 2012. 584 с.

[7] Елисеев В.В, Зиновьева Т.В. Механика тонкостенных конструкций. Теория стержней. Санкт-Петербург, Изд-во Политехнического ун-та, 2008. 95 с.

[8] Сорокин Ф.Д. Прямое тензорное представление уравнений больших перемещений гибкого стержня с использованием вектора конечного поворота. Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, 1994, № 1, с. 164–168.

[9] Сорокин Ф.Д. Векторно-матричное описание больших поворотов при разработке конечных элементов механических систем. Компьютерные технологии анализа инженерных задач механики. Сб. тр. Междунар. науч. школы для молодежи, Москва, 9–13 ноября 2009 г., Москва, ИМАШ РАН, 2009, с. 106–113.

[10] Géradin M., Cardona A. Flexible multibody dynamics – A finite element approach. New York, Wiley, 2001. 327 p.

[11] Сорокин Ф.Д., Чжоу Су. Разработка конечного элемента в виде витка цилиндрической пружины. III Международная Школа-конференция молодых ученых Нелинейная динамика машин, Москва, 12–15 апреля 2016 г., Москва, ИМАШ РАН, 2016, c. 261–265.

[12] Felippa C.A. A Systematic Approach to the Element-Independent Corotational Dynamics of Finite Elements. Department of Aerospace Engineering Sciences and Center for Aerospace Structures, USA, University of Colorado, 2000. 42 p.

[13] Felippa C.A., Haugen B. Unified Formulation of Small-Strain Corotational Finite Elements: I. Theory. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2005, vol. 194, pp. 2285–2335.

[14] Дьяконов В.П. Mathematica 5.1/5.2/6. Программирование и математические вычисления. Москва, ДМК-Пресс, 2008. 574 с.

[15] Thomson W.T. Theory of Vibration with Applications. Cheltenham, Nelson Thornes, 2003. 546 p.

[16] Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. Санкт-Петербург, Питер, 2002. 608 с.