Связанная нестационарная осесимметричная задача термоэлектроупругости для круглой многослойной пластины

Рассмотрена круглая многослойная пластина, выполненная из упругого и электроупругого (пьезокерамического) материалов, при шарнирном закреплении ее цилиндрической поверхности. Математическая формулировка связанной нестационарной осесимметричной начально-краевой задачи термоэлектроупругости включает в себя несамосопряженные системы дифференциальных уравнений в частных производных, а также граничные условия теплопроводности первого, третьего и четвертого рода. Использование уравнений равновесия накладывает ограничение на скорость изменения внешней нагрузки в виде температуры на верхней лицевой поверхности пластины. Для определенности построенного алгоритма рассмотрена трехслойная электроупругая система. Замкнутое решение построено с помощью метода конечных интегральных преобразований. При проведении процедуры неполного разделения переменных по радиальной переменной применено однокомпонентное преобразование Ханкеля, а по аксиальной координате — новый класс векторных преобразований, основанный на многокомпонентном соотношении биортогональности собственных вектор-функций двух однородных краевых задач. Такие преобразования позволяют построить сопряженный оператор, без которого нельзя решить несамосопряженные линейные краевые задачи. В качестве численного примера выбрана трехслойная конструкция, состоящая из металлической подложки, повышающей прочностные свойства преобразователя, пьезокерамической пластины и теплоизолирующего слоя. Проанализирована зависимость между высотой слоев этой конструкции и электрическим импульсом, определяемым путем подключения электродированных эквипотенциальных поверхностей пьезопластины к измерительному прибору с большим входным сопротивлением. Полученные результаты дают возможность обосновать рациональную программу экспериментов при проектировании тепловых пьезокерамических преобразователей и сократить объем натурных исследований.
EDN: YVZIKO, https://elibrary/yvziko

Литература

[1] Ионов Б.П., Ионов А.Б. Спектрально-статистический подход к бесконтактному измерению температуры. Датчики и системы, 2009, № 2, с. 9–12.

[2] Паньков А.А. Резонансная диагностика распределения температуры пьезоэлектролюминесцентным оптоволоконным датчиком по решению интегрального уравнения Фредгольма. Вестник ПНИПУ. Механика, 2018, № 2, с. 72–82, doi: https://doi.org/10.15593/perm.mech/2018.2.07

[3] Казарян А.А. Тонкопленочный датчик давления и температуры. Датчики и системы, 2016, № 3, с. 50–56.

[4] Mindlin R.D. Equations of high frequency vibrations of thermopiezoelectric crystal plates. Int. J. Solids Struct., 1974, vol. 10, no. 6, pp. 625–637, doi: https://doi.org/10.1016/0020-7683(74)90047-X

[5] Lord H. A generalized dynamical theory of thermoelasticity. J. Elasticity, 1967, vol. 15, no. 5, pp. 299–309, doi: https://doi.org/10.1016/0022-5096(67)90024-5

[6] Green A.E. Thermoelasticity without energy dissipation. J. Elasticity, 1993, no. 31, pp. 189–208, doi: https://doi.org/10.1007/BF00044969

[7] Saadatfar M., Razavi A.S. Piezoelectric hollow cylinder with thermal gradient. J. Mech. Sci. Technol., 2009, vol. 23, no. 1, pp. 45–53, doi: https://doi.org/10.1007/s12206-008-1002-8

[8] Chen W.Q., Shioya T. Piezothermoelastic behavior of a pyroelectric spherical shell. J. Therm. Stress., 2001, no. 24, no. 2, pp. 105–120, doi: https://doi.org/10.1080/01495730150500424

[9] Obata Y., Noda N. Steady thermal stresses in a hollow circular cylinder and a hollow sphere of a functionally gradient material. J. Therm. Stress., 1994, no. 17, no. 3, pp. 471–487, doi: https://doi.org/10.1080/01495739408946273

[10] Podil’chuk Y.N. Exact analytical solutions of static electroelastic and thermoelectroelastic problems for a transversely isotropic body in curvilinear coordinate systems. Int. Appl. Mech., 2003, vol. 39, no. 2, pp. 132–170, doi: https://doi.org/10.1023/A:1023953313612

[11] Khorsand M. Dynamic analysis of a functionally graded piezoelectric spherical shell under mechanical and thermal shocks. J. Mech. Eng. Sci., 2014, vol. 228, no. 4, pp. 632–645, doi: https://doi.org/10.1177/0954406213489445

[12] Akbarzadeh A.H., Babaei M.H., Chen Z.T. The thermo-electromagnetoelastic behavior of a rotating functionally graded piezoelectric cylinder. Smart Mater. Struct., 2011, vol. 20, no. 6, art. 065008, doi: https://doi.org/10.1088/0964-1726/20/6/065008

[13] Rahimi G.H., Arefi M., Khoshgoftar M.J. Application and analysis of functionally graded piezoelectrical rotating cylinder as mechanical sensor subjected to pressure and thermal loads. Appl. Math. Mech., 2011, vol. 32, no. 8, pp. 997–1008, doi: https://doi.org/10.1007/s10483-011-1475-6

[14] Shlyakhin D.A., Kalmova M.A. Uncoupled problem of thermoelectroelasticity for a cylindrical shell. In: XXX Russian-Polish-Slovak seminar theoretical foundation of civil engineering (RSP 2021). Springer, 2022, pp. 263–271, doi: https://doi.org/10.1007/978-3-030-86001-1_31

[15] Шляхин Д.А., Савинова Е.В., Юрин В.А. Динамическая задача термоэлектроупругости для круглой жестко закрепленной пластины. Вестник инженерной школы ДВФУ, 2022, № 1, с. 3–16, doi: https://doi.org/10.24866/2227-6858/2022-1/3-16

[16] Ватульян А.О. Тепловой удар по термоэлектроупругому слою. Вестник Донского государственного технического университета, 2001, т. 1, № 1, с. 82–89.

[17] Shang F., Kuna M., Kitamura T. Theoretical investigation of an elliptical crack in thermopiezoelectric material. Part I: Analytical development. Theor. Appl. Fract. Mech., 2003, vol. 40, no. 3, pp. 237–246, doi: https://doi.org/10.1016/j.tafmec.2003.08.003

[18] Kirilyuk V.S. Thermostressed state of a piezoelectric body with a plate crack under symmetric thermal load. Int. Appl. Mech., 2008, vol. 44, no. 3, pp. 320–330, doi: https://doi.org/10.1007/s10778-008-0048-8

[19] Пряхина О.Д., Смирнова А.В., Самойлов М.В. и др. Учет связанности физических полей в динамических задачах для многослойных сред. Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества, 2010, т. 7, № 1, с. 54–60.

[20] Шляхин Д.А., Кальмова М.А. Нестационарная задача термоэлектроупругости для длинного пьезокерамического цилиндра. Вестник ПНИПУ. Механика, 2021, № 2, с. 181–190, doi: https://doi.org/10.15593/perm.mech/2021.2.16

[21] Шляхин Д.А., Кальмова М.А. Связанная динамическая осесимметричная задача термоэлектроупругости для длинного полого пьезокерамического цилиндра. Advanced Engineering Research, 2022, т. 22, № 2, с. 81–90, doi: https://doi.org/10.23947/2687-1653-2022-22-2-81-90

[22] Калоеров С.А., Глушанков Е.С. Определение термоэлектромагнитоупругого состояния многосвязных кусочно-однородных пьезопластин. Прикладная механика и техническая физика, 2018, т. 59, № 6, с. 88–101, doi: https://doi.org/10.15372/PMTF20180609

[23] Qin H.Q. Greens function for thermopiezoelectric plates with holes of various shapes. Arch. Appl. Mech., 1999, vol. 69, pp. 406–418, doi: https://doi.org/10.1007/s004190050230

[24] Фирсанов В.В., Нгуен Л.Х. Напряженно-деформированное состояние произвольных оболочек с учетом термоэлектрического воздействия на основе уточненной теории. Тепловые процессы в технике, 2020, т. 12, № 3, с. 110–117, doi: https://doi.org/10.34759/tpt-2020-12-3-110-117

[25] Ishihara M., Ootao Y., Kameo Y. et al. Thermoelectroelastic response of a piezoelectric cylinder with symmetry under axisymmetric mechanical and thermal loading. Mech. Eng. J., 2017, vol. 4, no. 5, pp. 16–00609, doi: https://doi.org/10.1299/mej.16-00609

[26] Gupta V., M.S., B. and Das S. Impact of memory-dependent heat transfer on Rayleigh waves propagation in nonlocal piezo-thermo-elastic medium with voids. Int. J. Numer. Method H., 2024, vol. 34, no. 4, pp. 1902–1926, doi: https://doi.org/10.1108/HFF-10-2023-0615

[27] Куликов Г.М., Плотникова С.В. Управление формой слоистых композитных пластин с пьезоэлектрическими накладками при тепловом нагружении на основе метода отсчетных поверхноcтей. Известия РАН. МТТ, 2021, № 5, с. 45–63, doi: https://doi.org/10.31857/S0572329921040085

[28] Azizzadeh A., Behjat B. Static and natural frequency investigation of FGP beams considering thermal effects and design parameters. J. Eng. Appl. Sci., 2023, vol. 70, art. 92, doi: https://doi.org/10.1186/s44147-023-00250-4

[29] Zhong X., Wu Y., Zhang K. An extended dielectric crack model for fracture analysis of a thermopiezoelectric strip. Acta Mech. Solida Sin., 2020, vol. 33, no. 4, pp. 521–545, doi: https://doi.org/10.1007/s10338-019-00149-9

[30] Ватульян А.О., Нестеров С.А. Динамическая задача термоэлектроупругости для функционально-градиентного слоя. Вычислительная механика сплошных сред, 2017, т. 10, № 2, с. 117–126, doi: https://doi.org/10.7242/1999-6691/2017.10.2.10

[31] Ватульян А.О., Нестеров С.А. Итерационная схема решения коэффициентной обратной задачи термоэлектроупругости. Вычислительная механика сплошных сред, 2017, т. 10, № 4, с. 445–455, doi: https://doi.org/10.7242/1999-6691/2017.10.4.36

[32] Шляхин Д.А., Даулетмуратова Ж.М. Нестационарная связанная осесимметричная задача термоупругости для жестко закрепленной круглой пластины. Вестник ПНИПУ. Механика, 2019, № 4, с. 191–200, doi: https://doi.org/10.15593/perm.mech/2019.4.18

[33] Шляхин Д.А., Савинова Е.В. Связанная нестационарная осесимметричная задача термоэлектроупругости для круглой пьезокерамической шарнирно закрепленной пластины. Вестник Самарского государственного технического университета. Сер. Физико-математические науки, 2023, т. 27, № 1, с. 159–178, doi: https://doi.org/10.14498/vsgtu1959

[34] Коваленко А.Д. Основы термоупругости. Киев, Наукова Думка, 1970. 307 с.

[35] Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Электроупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. Москва, Наука, 1988. 470 с.

[36] Карташов Э.М. Аналитические методы в теплопроводности твердых тел. Москва, Высшая школа, 1985. 480 с.

[37] Снеддон И.Н. Преобразования Фурье. Москва, Изд-во иностр. лит., 1955. 668 с.

[38] Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. Москва, Наука, 1977. 342 с.

[39] Сеницкий Ю.Э. Биортогональное многокомпонентное конечное интегральное преобразование и его приложение к краевым задачам механики. Изв. вузов. Математика, 1996, № 8, с. 71–81.

[40] Selvamani R. Influence of thermo-piezoelectric field in a circular bar subjected to thermal loading due to laser pulse. Физика и механика материалов, 2016, т. 27, № 1, с. 1–8.